Líneas y superficies curvas

Líneas..

La recta es una sucesión infinita o continua de puntos a lineados en una sola dirección. Es una de las primitivas gráficas en computación gráfica viene dada por la ecuación y= m.x+b, donde m es la pendiente de la recta y v es el corte con el eje y.

Como los pixeles se grafican en posiciones enteras, la línea trazada solo puede aproximar posiciones de líneas reales entre los puntos extremos especificados.

Una línea recta debe dibujarse como una sucesión de pixeles.

Efecto de escalera que se produce cuando se genera una línea como una serie de pixeles

 .





Trasformar primitivas en pixeles

Las coordenadas de los pixeles deben estar lo más cerca posible de una línea recta real.

Un algoritmo debe cumplir con:

La secuencia de pixeles debe ser lo más recta que se pueda.

Las líneas deben tener el mismo grosor e intensidad sin importar el grado de inclinación.

Las líneas deben dibujarse lo mas rápido posible.

Superficies curvas

Las superficies curvas pueden generarse a partir de un conjunto funciones matemáticas que definen la superficies o bien a partir de un conjunto de puntos de datos especificados por el usuario.

Cuando se especifican funciones de curvas, un paquete puede emplear las ecuaciones definidoras para localizar y gráfica posiciones de pixeles a lo largo de la trayectoria de la curva, casi igual como sucede con las curvas en dos dimensiones.

La definición analítica de una dada curva puede hacerse de varios modos y se relaciona directamente con la forma de representarla gráficamente:

Explícitamente:

 y = f(x)

Implícitamente:

  f(x, y) = 0

Paramétricamente:

   x = x(t)

   y = y(t)

Representación Explícita

Es la más conocida desde que nos ensenaron a utilizar las coordenadas cartesianas para graficar funciones.

En 3D, para representar una curva se requieren dos ecuaciones:

y = f (x),  z = g(x)

Obteniendo una superficie  en 3D que será:

z = f (x, y)

Representación Implícita

Para curvas y superficies estándar (rectas, círculos, planos, toroides, etc.), este tipo de definición es mas directa y permite visualizar y modificar sencillamente parámetros importantes y específicos de cada curva (radio en un circulo, distancia al origen en un plano, etc.).

En 3D, una superficie se describe por

f(x, y, z) = 0

Representación paramétrica

El valor de cada variable espacial se expresa en términos de una variable independiente (t), llamada parámetro.

Estas funciones juntas han de  formar las ecuaciones paramétricas de una curva:

x = x(t)

y = y(t)

z = z(t)

Cada valor de t determina un punto (x,y) que se puede representar en un sistema de coordenadas.

La configuración de los objetos gráficos 3D curvas y superficies también se puede ilustrar con mayor detalle mediante la siguiente escena:

Variables para la escala y los giros

En gráficos 3D se agregaron unas variables para conocer y controlar los ángulos de giro del espacio: <Espacio>.rot.y y <Espacio>.rot.y donde <Espacio> es el nombre del espacio.

También se agregaron las variables <Espacio>.escala y <Espacio>.observador que sirven para controlar la escala y la distancia aparente al observador, ambas se miden en pixeles. La siguiente escena ilustra explícitamente el uso de estas variables. Observe que si el usuario cambia la escala o gira el espacio arrastrando el ratón, los controles numéricos se actualizan con los nuevos valores de la escala y las rotaciones.

Conclusión

Todos los gráficos diseñados en 2D o 3D, requieren de algún modelo matemático o cálculos vitales para su construcción y para llevar a cabo las operaciones de coordenadas en x,y,z. Se pueden utilizar para las transformaciones tridimensionales que utilizan matrices de transformación donde se expresan y se resuelven posiciones en coordenadas homogéneas, que nos permite representar todas las ecuaciones de trasformación geométrica

Bibliografía

http://informatica.uv.es/iiguia/AIG/web_teoria/tema3.pdf
http://grafi-ricardo.blogspot.mx/2012/03/la-representacion-de-los-objetos-en.html